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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

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2.8. Calcular los límites indicados, para $x$ tendiendo a infinito.
c) $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{5}-x^{6}+\sqrt{x}$

Respuesta

Atenti acá gente, porque se que a veces estas expresiones al principio traen dudas... hasta que lo muestran y ves que es re fácil en realidad. Acá nos piden calcular este límite:

\( \lim _{x \rightarrow +\infty} x^5 - x^6 + \sqrt{x} \)

Cuando $x$ sea muuuuy grande, o sea, tienda a infinito (más o menos infinito, vale para ambos) el término con el exponente más alto es el que dominará el comportamiento de la función en el infinito!

En este caso, cuando \( x \) tiende a \( +\infty \), el término \( -x^6 \) crece mucho más rápido que los otros dos términos y por lo tanto será el término dominante. A su lado, \( x^5 \) y \( \sqrt{x} \) se vuelven insignificantes y los podemos ignorar. Entonces, si querés, imaginate que al tomar límite reemplazas ese $+\infty$ adentro del $- x^6$ nomás, te quedaría algo así $-(+\infty)^6 = -\infty$
Por lo tanto: \( \lim _{x \rightarrow +\infty} x^5 - x^6 + \sqrt{x} = -\infty \)

Aclaración: Esto lo podrías justificar de una manera mucho más formal sacando factor "el que manda", es decir $x^6$. Si hacés eso y tomás límite, vas a ver que llegás al mismo resultado.
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Avatar Ariel 7 de octubre 01:23
como va! para hacer el factor común 1ro debemos sufrir con la multiplicación del conjugado? o directamente a la expresión que nos dan, gracias 
Avatar Flor Profesor 7 de octubre 10:49
@Ariel Hola Ariel! Jajaj nooo, nada de sufrir 😅 Me refiero a esto, vos tenés:

$\lim _{x \rightarrow +\infty} x^5 - x^6 + \sqrt{x}$

que también lo podrías escribir así:

$\lim _{x \rightarrow +\infty} - x^6 + x^5 + x^{1/2}$

Entonces ahora saco factor común la potencia de $x$ que manda, que sería $x^6$

$\lim _{x \rightarrow +\infty} x^6 \cdot (-1 + \frac{x^5}{x^6} + \frac{x^{1/2}}{x^6})$

$\lim _{x \rightarrow +\infty} x^6 \cdot (-1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{11/2}})$

Y cuando tomamos límite nos da $-\infty$ (fijate que el paréntesis tiende a -1, entonces por regla de signos te queda $(+\infty) \cdot (-1) = -\infty$

Aclaración por las dudas, cuando te queda $\frac{x^{1/2}}{x^6}$, ahí usamos regla de potencias, restamos los exponentes: 

$\frac{x^{1/2}}{x^6} = x^{-11/2} = \frac{1}{x^{11/2}}$

Avisame si ahí quedó más claro!
Avatar Ariel 7 de octubre 22:52
@Flor perfecto! tenía la duda pero es como pensaba! gracias flor!
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